Kalkulus Integral

Integral Ganda 

       • Bentuk

I = Z Z f(x,y)dA

R

•     Arti geometri: volume daerah di bawah permukaan z = f(x,y) dengan alas R.

•     Perhitungan: menggunakan integral berulang

I = Z Z f(x,y)dxdy

R

atau

I = Z Z f(x,y)dydx

R

Urutan integral disesuaikan dengan bentuk daerah R atau kemudahan dalam perhitungan

Contoh:

Hitung RRR e^y2dA dengan R daerah segitiga yang memiliki titik sudut (0,0), (1 , 1) dan (0,1).

Jawab:

Penulisan

R = {(x,y) : 0 ≤ x ≤ y,0 ≤ y ≤ 1}

atau

R = {(x,y) : x ≤ y ≤ 1,0 ≤ x ≤ 1}

Dari bentuk integran-nya e^y2, penggintegralan terhadap y lebih dahulu tidak dimungkinkan, jadi

Perubahan variabel dalam integral

•     Bentuk RR e^−(x2+y2)dA lebih mudah dihitung menggunakan koordinat polar, dengan hubungan x = r cosθ y = r sinθ

•     Secara umum perubahan koordinat:

Z Z f(x,y)dA = Z Z F(r,θ)rdrdθ

R   R^∗

dimana:

R∗daerah integral dalam x − y

R daerah integral dalam r − θ, sesuai transformasi yang berlaku F(r,θ) = f(r cosθ,r sinθ) dA dalam x − y menjadi rdrdθ

•     Integral di atas dengan R = {(x,y) : x² + y² ≤ a²} dapat dinyatakan dalam polar

RR e−(x2+y2)dA    = R2π R a e−r2−rdrdθ− 2

R     0                     0

= ··· = π(1       e ^a )

dimana R^∗ = {(r,θ) : 0 ≤ r ≤ a,0 ≤ θ ≤ 2π}

•     Bagaimana dengan bentuk     y x

−

Z Z ey+xdA

R

dimana R = {(x,y) : 0 ≤ x ≤ 1 − y,0 ≤ y ≤ 1}.

Perlu transformasi dan perumusan integral. Berikut kita bahas secara umum.

–     Integral

I = Z Z F(x,y)dA

R

dengan transformasi (x,y) ↔ (u,v)

x = f(u,v) y = g(u,v)

secara geometri kita petakan u = konstan dan v = konstan ke kurvakurva pada bidang x − y.

–     Luas daerah kecil dA, pada bidang x−y, hendak kita nyatakan dalam u dan v, diilustrasikan pada Gambar (1).

∗ Batas daerah dA:

-Lengkungan u dan u + du

-Lengkungan v dan v + dv

-Lengkungan v dan v + dv

Figure 1: Pemetaan kurva dari bidang x − y ke u − v

∗ Perpotongan lengkungan u dan lengkungan v berupa

r¯ = x¯i + y¯j

Di sini kita gunakan z = 0 karena lengkungan tersebut berada di bidang x − y.

∗ Diferensial dari r¯     

∗ Vektor singgung pada v = konstan (dv = 0) adalah

^dr¯|v₌konstan  

Hal serupa untuk u = konstan (du = 0) berlaku

^dr¯|u₌konstan  

Figure 2: Luas daerah sebagai perkalian silang dari vektor singgung sepanjang lengkungan u konstan dan v konstan

∗ Luas sebagai perkalian silang dua vektor singgung dari masing-masing lengkungan seperti diilustrasikan pada Gambar (2).

Di sini digunakan dua pasangtanda tegak, yang pertama (dalam) menyatakan determinan dan kedua (luar) menyatakan tanda mutlak. Penulisan determinan pada baris terakhir dikenal sebagai determinan Jacobi, notasi

∗ Bentuk integral

dimanamenyatakan daerah integral di bidang u − v.

– Contoh semula:

−

Z Z eyy+xxdA

R

dimana R = {(x,y) : 0 ≤ x ≤ 1 − y,0 ≤ y ≤ 1}.

Kita gunakan u = y − x, v = y + x atau x = (v − u)/2, y = (v + u)/2 ,

sehingga determinan Jacobi

Pemetaan di atas dilakukan padabatas-batas daerah     , menghasilkan

Figure 3: Pemetaan daerah integrasi dari R ke D^∗

sehingga

D^∗ = {(u,v) : −v ≤ u ≤ v,0 ≤ v ≤ 1}

seperti diilustrasikan pada Gambar (3). Oleh karena itu integral dalam

u − v

Integral Garis

C kurva di bidang dengan arah lintasan sesuai lintasan

C : r¯(t) = x(t)¯i + y(t)¯j, a ≤ t ≤ b

Di sini kurva diasumsikan mulus, yaitu kontinu sampai turunan pertama. Selain itu, diberikan fungsi f(x,y) yang terdefini pada kurva C dan kontinu. Integral garis

Z f(x,y)ds

C

secara geometri merupakan luas lempeng sepanjang lintasan C yang tingginya

f(x,y) dari dasar.

Masalah sekarang adalah bagaimana menghitung integral tersebut. Secara fisis hal tersebut dapat dilakukan dengan menarik lempeng yang berliku-liku menjadi terentang, sehingga permasalahan menjadi integral tentu seperti pada kalkulus I (luas daerah di bawah kurva). Proses merentang lempeng tersebut dapat diterjemahkan dalam matematika dengan menyatakan integral yang dihadapi menjadi integral terhadap parameter t. Untuk itu, kita partisi selang [a,b], dan salah satunya [t_i,t_i+1], yang mempunyai panjang lintasan.

Sehingga integral garis dapat dinyatakan sebagai

R

C f(x,y)ds = RRt^t=⁼a^b f(x(t),y(tq))^dsdt_′dt    _′

= a^b f(x(t),y(t))   x (t)² + y (t)²dt

Contoh 1:

Hitung RC xy³ds dengan C : segmen garis y = 2x dari (-1,-2,0) ke (1 , 2,0).

Jawab:

Tuliskan x(t) = t, y(t) = 2t, sehingga

C : r¯(t) = t¯i + 2t¯j, −1 ≤ t ≤ 1

ds         √         2 = √5

=          1 + 2 dt

Jadi

¹                     16

Z xy³ds = Z− t(2t)³√5dt =   √

C            1                     5

Kerja sebagai integral garis

Benda bergerak dari titik A ke titik B sepanjang lintasan

C : r¯(t) = x(t)¯i + y(t)¯j + z(t)k,¯       t ∈ [a,b]

oleh medan gaya

F¯(x,y,z) = F₁(x,y,z)¯i + F₂(x,y,z)¯j + F₃(x,y,z)k¯

Untuk menghitung kerja yang dilakukan gaya, kita perhatikan benda pada saat di titik Q(x,y,z) seperti diilustrasikan pada Gambar (6). 1. Vektor singgung kurva C

r¯^′(t) = x^′(t)¯i + y^′(t)¯j + z^′(t)k¯

dan vektor singgung satuannya

, dengan |T¯| = 1

Figure 6: Sketsa medan gaya F¯ pada lintasan C

2.    Proyeksi gaya F¯ pada T¯ w¯ = (F¯ · T¯)T¯

w¯ sebagai gaya penggerak benda, dan |w¯| = F¯ · T¯.

3.    Selama selang waktu kecil dt, benda bergerak sejauh dL.

4.    Menurut hukum fisika: kerja adalah hasil kali gaya dengan jarak, sehingga untuk menggerakkan′ benda sejauh dL diperlukan kerja dω = (F¯ · T¯)dL. Sedangkan dL = |r¯(t)|dt, sehingga kerja keseluruhan

Bentuk integral terakhir diperoleh setelah menyatakan T¯ dan dL dalam r¯ seperti diberikan di atas. Dalam penulisannya kerja lebih sering dijumpai dalam bentuk integral garis

W = Z F¯ · ds¯

C

dimana ds¯ = r¯^′(t)dt.

Contoh:

Hitung kerja yang dilakukan gaya

F¯(x,y,z) = x¯i + y¯j + zk¯

untuk menggerakkan benda sepanjang lintasan

C : r¯(t) = sint¯i + cost¯j + tk,¯           t ∈ [0,2π]

Jawab:

Kerja W = RC F¯ · ds.¯ Untuk menghitung integral tersebut, kita harus menyatakan ke integral tentu

F¯(¯r(t)) = (sint,cost,t) ds¯ = r¯^′(t)dt = (cost,−sint,1)dt

Jadi 2π

W = Z sintcost − costsint + tdt = 2π²

0

• Bentuk diferensial dari integran Kerja yang dilakukan oleh gaya   F¯ adalah

W = Z F¯ · ds¯

C

dimana

ds¯ = r¯^′(t) = dx¯i + dy¯j + dzk¯

Sehingga bentuk integran dapat dituliskan dalam bentuk diferensial

F¯ · ds¯ = Z F₁dx + F₂dy + F₃dz

Z

C                       C

Hubungan integral garis dan integral ganda

–     Tinjau R daerah tertutup di bidang x − y yang dibatasi oleh kurva C yang dinyatakan dalam fungsi vektor dengan orientasi positip, yaitu arah lintasan berlawan dengan perputaran jarum jam. Daerah R dapat dinyatakan sebagai R = {(x,y) : a ≤ x ≤ b,u(x) ≤ y ≤ v(x)}.

–     F¯(x,y) = f(x,y)¯i + g(x,y)¯j medan vektor dengan f(x,y) dan g(x,y) kontinu pada R, begitu juga turunannya.

–     Berikut penjabaran inetgral ganda menjadi integral garis

∂f                    b                     v ∂f

RRR ∂y dA          = R^R−a RRu ∂y   dydx −    − R        −R

= _a^b f(x,v(x))     f(x,u(x))dx

=          _b^a f(x,v(x))dx    _a^b f(x,u(x))dx = _C f(x,y)dx

–     Dengan cara sama untuk R = {(x,y) : p(y) ≤ x ≤ q(y),c ≤ y ≤ d}

–     Dengan menggabungkan kedua hasil

Hubungan ini dikenal sebagai teorema Green.

– Contoh:

Hitung I = RC y²≤dx +−x²dy≤dengan≤ C berupa lintasan sebagai batas segiempat −1 ≤ x 1, 1 y 1 dan arah positip, yaitu berlawanan dengan perputaran jarum jam.

Jawab:

∗ Kita hitung secara langsung

Figure 7: Lintasan C = C₁ ∪ C₂ ∪ C₃ ∪ C₄ sebagai batas segi-empat R

I = Z 1 y²dx+x²dy+Z 2 y²dx+x²dy+Z 3 y²dx+x²dy+Z y²dx+x²dy

C                        C                     C                     C₄

dengan C₁,C₂,C₃,C₄ merupakan bagian-bagian dari lintasan C, yaitu sebagai sisi-sisi segi-empat, seperti diberikan dalam Gambar (7).

R y2dx + x2dy = R−1 dx = 2 C 1                  −1 RR 32 y2dx + x2dy = R −−11   dy = 2− C R y2dx + x2dy = R 1 dx = −2 C                      1 4 y2dx + x2dy = R1   1 dy =          2 C

(dy = 0,y = − 1) (x = 1,dx = 0) (dy = 0,y = 1) (x = −1,dx = 0)

Keseluruhan I = 0.

∗ Menggunakan teorema Green f(x,y) = y²,g(x,y) = x²

1            1

I = Z Z 2x − 2ydA = Z− Z− 2x − 2ydxdy = 0

R           1                     1

• Integral garis tidak bergantung lintasan

–     Dari contoh sebelum ini, kita menghitung sebagian integral dari (-1,-1) ke (1,1) sepanjang C = C₁ ∪ C₂

I = Z y²dx + x²dy

C

yang menghasilkan I = 4. Sekarang kita ambil lintasan lain, misalnya

C : r¯(t) = t¯i + t¯j, −1 ≤ t ≤ .

Substitusikan x = t,y = t, begitu juga dx = dt,dy = dt, integral garis menjadi integral tentu

Di sini kita dapat membandingkan kedua integral, dengan lintasan yang berbeda kita peroleh hasil integral yang berbeda.

–     Sekarang kita perhatikan I = RC xdx − ydy − zdz dengan dua macam lintasan yang menghubungkan (1,0,-1) ke (2 , -1,0).

∗ Lintasan C : r¯(t) = (1,0,−1) + t(1,−1,1) untuk t ∈ [0,1]. Untuk menghitung integralnya, kita substitusikan x = 1 + t,y = −t,z = −1 + t dan dx = dt,dy = −dt,dz = dt, sehingga diperoleh integral tentu

1            1

I =(1 + t) + t(−1) − (−1 + t)dt = Z 2 − tdt = 3/2

0             0

∗ Lintasan C = C₁ ∪ C₂ ∪ C₃ dimana

C₁ : dari (1,0,-1) ke (1 ,0, 0)

C₂ : dari (1,0,0) ke (2 ,0, 0)

2

2   xdx − ydy − zdz = Z xdx = 3/2

Z

C             1

C₃ : dari (2,0,0) ke (2 ,-1, 0)

−1

3   xdx − ydy − zdz = Z −ydy = −1/2

Z

C                     0

Keseluruhan I = 3/2, diperoleh hasil yang sama seperti pada lintasan sebelumnya.

∗ Pertanyaan:

Apakah hasil yang diperoleh di atas hanya kebetulan sama nilainya? Jika tidak adakah syarat agar integral tidak bergantung lintasan?

∗ Untuk lebih mendukung pertanyaan di atas, dapat dihitung integral menggunakan lintasan lain sebagai latihan, misalkan

C : r¯(t) = (1 + t²)¯i − t¯j + (−1 + √t)k,¯   0 ≤ t ≤ 1.

• Turunan eksak

Definisi:

fdx + gdy + hdz dikatakan turunan eksak jika bentuk tersebut merupakan diferensial dari fungsi skalar u(x,y,z), yaitu

Hubungan:

–     f = ∂u_∂x,g = ∂u_∂y,h = ∂u_∂z

–     Dalam bentuk vektor

Medan vektor V¯ = f¯i + g¯j + hk¯ memberikan diferensial vektor bila

V¯ = gradu

Dari pengertian eksak, kita dapatkan:

R

C   fdx + gdy + hdz tidak bergantung lintasan

1.    ⇔ fdx + gdy + hdz eksak

2.    ⇔ Integral bernilai nol untuk setiap lintasan sederhana tertutup pada daerah definisinya.

3.    ⇔ ∂h∂y = ∂g∂z, ∂f∂z = ∂h∂x, ∂x∂g = ∂f∂y atau curlV¯ = 0.

Catatan:

Terkait dengan integral yang bebas lintasan, terdapat ekivalensi seperti dituliskan di atas. Secara teknis, pernyataan terakhir (ke-tiga) lebih banyak digunakan, karena untuk memeriksanya cukup dengan menurunkan fungsi yang ada pada integran atau menggunakan curl.

• Contoh:

Tentukan− u(x,y,z) agar du = xdx − ydy−− zdz, kemudian hitung RC xdx − ydy zdz dengan C lintasan dari P(1,0, 1) ke Q(2,−1,0).

Jawab:

^∂u = x ⇐            u(x,y,z) = ^x22² + a(y,z)

_∂x

∂u = ∂a∂y = −y ⇐ a(y,z) = −2 y2 + b(z)

∂y

∂u∂z   = ∂z∂b = −z ⇐        b(z) = −z2 + K

Jadi u(x,y,z) = ^x₂² − ^y₂² − ^z₂² + K.

Karena kita dapat menentukan fungsi skalar yang diferensial-nya sama dengan xdx − ydy − zdz maka integral yang kita hadapi tidak bergantung lintasan. Oleh karena itu

Kembali pada teorema Green, kita dapat menuliskannya dalam bentuk vektor.

•     Kaitan dengan curl

Dari medan vektor   F¯(x,y) = f(x,y)¯i + g(x,y)¯j, kita dapat menghitung curl dari F¯

sehingga           

Menurut teorema Green ruas kanan dapat dinyatakan sebagai integral garis, sehingga diperoleh hubungan

fdx + gdy = Z Z curlF¯ · kdxdy¯

Z

C R

atau dalam bentuk vekto


Terimakasih Telah berkunjung di blog saya,

jika ada pertanyaan saran atau kritik bisa tulis komentar di bawahnya ^_^